Совместный проект с журналом «Школьное обозрение»

От реформы до реформы...

Попытка обзора школьных учебников по математике¹

Алгебра
(7–9-е классы)

Обратим внимание на проблему, возникшую в последние годы в связи с все более частым использованием производной для изложения основного учебного материала в учебниках физики. Дело в том, что последовательное развитие содержания учебников [20] и [22] приводит к появлению производной только в 11-м классе. Возникшую проблему можно решить введением производной уже в 9-м классе на примере производной линейной функции и квадратного трехчлена. Пример такого изложения материала имеется в учебнике для 9-го класса серии «МГУ — школе». Он дан как необязательный материал (для классов с углубленным изучением математики).

Учебники А.Г.Мордковича [13] — первые из серии учебников, дополненных позднее учебниками [23] и [8]. Основные идеи автора были сначала реализованы в них. Это идеи математического языка и математической модели, постоянные разговоры о которых мало что объясняют ученикам, но заметно увеличивают объем учебников.
А по математическому содержанию они мало отличаются от учебников-предшественников.

Учебники разделены на собственно учебники и задачники. Авторская идея использования учебников заключается в том, что ученик сначала читает дома подробное изложение материала с авторскими пояснениями и отступлениями, а потом в классе обсуждает прочитанное с учителем.

Авторское видение учебников проясняют предисловия к ним. Только теперь, видимо, настала пора перенести из учебников в методические материалы для учителя (если не снять вовсе) неуместные во введении к учебнику оценки его литературного стиля, да еще в сравнении с другими учебниками. При чтении весьма недружественных заявлений об учебниках других авторов вспоминается слышанное как-то изречение Г.Форда: «Не ругайте конкурентов, совершенствуйте собственную продукцию».

Здесь же в предисловии излагается авторская концепция учебников, объясняется, что такое настоящее проблемное изложение материала, а не псевдопроблемность, «которую под видом проблемности ангажируют современные методики». Из предисловия мы узнаем также, что из традиционных для любого обучения вопросов: что? как? зачем? в учебниках [13] на первое место ставится вопрос зачем? Автор почему-то обходит молчанием вопрос почему? Но об авторской концепции спорить не приходится.

Основная схема построения материала в учебниках такова: функция — уравнение — преобразования. Она отражает функциональный подход к развитию материала в учебниках данной линии.

Учебники К.С.Муравина и др. [14] следуют давней традиции начинать изложение нового материала, как правило, с мотивирующей задачи. Способ ее решения рационализируется и формулируется в виде пошагового алгоритма решения типовых задач. Теоретический материал разделен на основной, предназначенный всему классу, и дополнительный, предназначенный учащимся, проявляющим интерес к математике.

В учебниках взаимосвязанные между собой вопросы иногда изложены отдельно, в последовательности, которую можно было бы изменить, не ухудшив внутрипредметные связи излагаемого материала. Например, действия с многочленами, дающие аппарат для тождественных преобразований и решения уравнений, изучаются после тождеств и тождественных преобразований. Алгебраические дроби, их сокращение появляются сначала в 7-м классе, а потом более подробно изучаются в 8-м.

Система упражнений учебника содержит большое количество задач разного уровня сложности, имеющих соответствующую маркировку. По каждой крупной теме в учебнике имеется домашняя контрольная работа, есть задания для самостоятельных исследовательских работ, практикумы по решению текстовых задач.

Геометрия
(7–9-е классы)

Учебника А.В.Погорелова [15] формально в «Перечне» нет, так как на момент утверждения этого документа новый вариант учебника (отдельно для 7–9-х классов) еще не прошел экспертизу. В данный момент он имеет гриф министерства и работать по нему можно. Это широко известный учебник, в котором реализован аксиоматический подход. Привлекательность учебника [15] связана, видимо, с тем, что он является развитием хорошо продуманных учебников и задачников прошлых лет. Но самое трудное для учащихся и учителя при работе по этому учебнику — это отслеживание порядка вершин треугольников при обсуждении их равенства и подобия, довольно сложные для учащихся доказательства первых теорем (например, признаков равенства треугольников).

Эти трудности как раз и произрастают из желания автора все вывести из аксиом и не пользоваться, например, наложением треугольников при доказательстве признаков равенства. Обучающий и воспитательный эффект от такого способа обучения несопоставим с теми трудностями, которые испытывают учащиеся и учителя.

Учебник Л.С.Атанасяна и др. [16] отличается более спокойным отношением к лозунгу «в геометрии все должно быть доказано!». В частности, упомянутые признаки равенства треугольников доказываются наложением треугольников, что представляется оправданным на ранней стадии освоения учащимися нового предмета. Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем изложении, почему-то даны не в виде теорем, а в виде задач, на которые труднее ссылаться. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции могли бы появиться раньше. Но этот момент учитель при желании может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства в начале 8-го класса, а вот изучение площади до подобия оправдано
(в учебнике [15] порядок обратный).

Одной из особенностей учебника И.Ф.Шарыгина [17] является отказ от аксиоматического подхода. В нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания уделено методам решения задач. Наглядно-эмпирическое построение курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные, интересные и красивые задачи.

Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных, но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому способствует продуманное использование наглядности в учебнике.

Учебник И.М.Смирновой и др. [18] следует традициям преподавания геометрии в школе, идущим от классических учебников А.П.Киселева. В нем реализован аксиоматический подход. Аксиомы вводятся постепенно, по мере необходимости. Для упрощения некоторых доказательств авторы используют несколько избыточную систему аксиом, что в рамках первоначального изучения геометрии оправдано. Однако и здесь, как и в учебнике [15], надо следить за порядком вершин в обозначении треугольника.

В качестве дополнений к классическим вопросам планиметрии в учебнике содержатся материалы научно-популярного характера (графы, теорема Эйлера, проблема четырех красок и др.). Учебник завершается материалами по стереометрии, что позволяет распространить изученные понятия и свойства на случай пространства, готовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах.

Алгебра
и начала анализа
(10–11-е классы)

Учебник А.Н. Колмогорова и др. [19] — самый первый учебник для старшей школы, написанный после реформы 60–70-х годов. Это учебник «для всех», он отличается простотой учебных текстов, имеет достаточное число пояснительных примеров. Он хорошо известен учителям. Последовательность изучения некоторых тем могла бы быть лучше. Из-за того что логарифмы вводятся на втором году обучения, тема «Производная» оказывается разорванной. В учебнике еще не нашло отражения усиление требований конкурсных экзаменов к технике решения уравнений, неравенств, систем.

В учебнике Ш.А.Алимова и др. [20] продолжается развитие идей, заложенных авторами в учебники [10] для 7–9-х классов. В этом учебнике, в отличие от учебника [19], в 10-м классе функции изучаются элементарными средствами, а производная изучается в 11-м классе, где она применяется для изучения функций, исследование свойств которых элементарными средствами затруднительно. Система упражнений в учебнике расширена, выделены три уровня сложности.

Основная содержательная линия учебника М.И.Башмакова [21] — исследование функций. Она изложена достаточно подробно и обеспечивает решение всех традиционных типов задач. Построение учебника необычное. В каждой главе излагается теория, при этом автор часто не входит в подробности и тонкости доказательств, иногда даже просто сообщая факты без доказательств. Это позволяет ему дать правильное первичное представление об изучаемом понятии, но этого, видимо, недостаточно при обучении сильных учащихся, ориентированных на глубокое овладение предметом.

Требования к результатам изучения представлены в учебнике в виде таблиц, содержащих разделы: овладение теорией, применение алгоритмов (иногда и приложения). Эти требования разбиты на три уровня: минимальный, основной и углубленный. Причем обязательным для всех учащихся считается основной уровень, фиксирование минимального уровня позволяет автору выделить главное в содержании изучаемого материала. Углубленный уровень нацеливает учащихся, заинтересованных в изучении математики, на дальнейшее изучение предмета. Разбиение это условно, но применительно к алгоритмам оно конкретизируется номерами заданий учебника, что дает ученику средство для ориентировки в материале.

В учебнике имеются контрольные задания трех уровней сложности, лабораторные работы, задачи на повторение, исторические сведения и другие материалы.

Учебников серии «МГУ — школе» С.М.Никольского и др. [22]  в «Перечне» нет, так как на момент утверждения этого документа последний учебник, для 11-го класса, еще не прошел экспертизу. В настоящее время и он имеет гриф министерства и работать по этим учебникам можно. Учебники для 10–11-х классов нацелены на подготовку учащихся к поступлению в вуз и к обучению в вузе. Это единственные двухуровневые учебники, предназначенные как для обычных классов, в которых дополнительные вопросы не изучаются, а сложные задачи пропускаются, так и для классов с углубленным изучением математики.

Изложение материала подробное, с большим числом решений типовых задач. В отличие от учебника [19], логарифмы изучаются в 10-м классе. Здесь же изучаются простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. А в 11-м классе излагаются все вопросы, касающиеся исследования функции элементарными средствами, производная, интеграл. Учебник для 11-го класса заканчивается главой, в которой рассматриваются общие способы решения уравнений, неравенств, систем.

В учебники [22] включены разделы «Задания на повторение», содержащие как задачи для текущего повторения, так и задания конкурсных экзаменов в различные вузы страны.

Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича [23] является функционально-графическая линия. Последовательность изложения некоторых вопросов знакома учителям по учебникам [19]. Например, производная показательной функции изучается после того, как закончено изучение производной и интеграла. Логарифмы появляются поздно. От учителя потребуются определенные усилия, чтобы приучить школьников вопреки учебнику при решении тригонометрических уравнений и неравенств писать, что n — число целое.

Автор и этот свой учебник считает пособием для неспешного домашнего чтения. Как и в книгах для 7–9-х классов он делает много отступлений и замечаний. И здесь сохранено авторское замечание о стиле его учебника.

Учебник Ю.М.Колягина и др. [24] является расширенным вариантом учебника [20], в котором больше внимания уделено вопросам исследования функций, внесены элементы теории вероятностей, комплексные числа, что должно обеспечить потребности профильных классов. В идейном отношении и в порядке развития содержания он достаточно близок учебнику [20].

Физико-математический профиль

Учебники Н.Я.Виленкина и др. [25] используются в классах с углубленным изучением математики давно и хорошо известны учителям. Последовательность изложения некоторых вопросов такая же, как в учебниках [19] и [23]. Сначала изучается производная, ее приложения, потом интеграл, лишь затем показательная и логарифмическая функции и их производные.

При этом введение логарифмов несколько формалистично. Сначала вводится натуральный логарифм как значение интеграла с переменным верхним пределом, потом число е как число, натуральный логарифм которого равен 1, потом логарифмическая функция по произвольному основанию, ее свойства и график.

Появление логарифмов несколько запаздывает, а ввести их можно проще и без ущерба для формирования теоретического мышления старшеклассников.

Гуманитарный профиль

Учебники А.Л.Вернера и А.П.Карпа [26] нетрадиционны для отечественной школы. В них предпринята смелая попытка изложить математику (алгебру, начала анализа и стереометрию) так, чтобы весь материал можно было изучить за 3 недельных часа. Разумеется, за смелость приходится платить резким снижением уровня обоснованности при изложении многих вопросов.

Можно спорить о том, полезно ли учащимся гуманитарных классов обходиться без определения параллельных прямых и говорить об изображении фигур на плоскости, не имея параллельного проектирования, перпендикулярности прямой и плоскости. Но введение объема в гуманитарном классе через интеграл кажется слишком смелым и противоречащим авторскому замыслу – не входить, по возможности, в подробности и технические сложности при ознакомительном изложении изучаемого материала. Дело в том, что такое введение объема более уместно в классе с углубленным изучением математики, что и реализовано с участием А.Л.Вернера в учебнике [31] для 11-го класса.

Возможно, описательное изложение математики, предпринятое в учебниках [26], окажется кому-то полезным. Со временем это выяснится. Но чего не следует делать заведомо, так это переводить на обучение по данным учебникам все общеобразовательные классы, которые не станут профильными. Именно это планируют «реформаторы» математического образования, но не авторы учебников.

Геометрия
(10–11-е классы)

Учебника А.В.Погорелова [27] в «Перечне» нет, так как на момент утверждения этого документа новый вариант учебника (отдельно для 10–11-х классов) еще не прошел экспертизу. В настоящее время он имеет гриф министерства и работать по нему можно. Учебник хорошо знаком учителям.

Усвоение первых тем по этому учебнику затрудняется тем, что основные изучаемые геометрические объекты — точки, прямые и плоскости — «висят» в пространстве, не имея опоры в виде знакомых с детства геометрических тел. Но опытные учителя умеют компенсировать этот недостаток, иллюстрируя изучение теории с помощью геометрических тел и решая с опережением на год простейшие задачи на построение сечений.

Учебник Л.С.Атанасяна и др. [28] является продолжением и развитием учебника для 7–9-х классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала более формально и строго, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач. Имеются дополнительные задания.

Основные теоретические факты в начале курса стереометрии изучаются с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит, и результативность обучения.

Учебник А.Д.Александрова и др. [29] написан просто и кратко, в нем реализован аксиоматический подход к построению теории. В теоретической части учебника выделе-
ны основные теоремы, из которых остальные теоремы получаются как следствия. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую, развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции.

После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены особо важные, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.

Учебник И.Ф.Шарыгина [30] реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Он является продолжением учебника [17]. Его характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы. Учебные тексты написаны хорошим литературным языком.

Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Особое внимание уделяется методам решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательство этих теорем поучительно само по себе, а владение ими позволяет решать довольно трудные задачи.

Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой, предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены полезные (п), важные (в) и трудные (т) задачи.

Физико-математический профиль

Учебники А.Д.Александрова и др. [31] для 10-го и 11-го класса хорошо известны учителям, работающим в классах с углубленным изучением математики. Теперь они выпущены отдельными книгами с некоторой переработкой задачного материала. Все задачи распределены по рубрикам: «Дополняем теорию», «Доказываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в решении», «Участвуем в олимпиаде» и др., что позволит учащимся лучше ориентироваться в задачном материале.

Естественно-научный профиль

Учебник И.М.Смирновой и В.А.Смирнова [32] для естественно-научного профиля – один из целого ряда учебников, написанных этими авторами. Эти учебники объединяет авторский подход к геометрии как науке и учебному предмету, а отличия учебников связаны с теми учебными задачами, которые ставятся в том или ином профиле. Так, учебник для естественно-научного профиля позволяет углубить знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках, например имеется теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные правильным, полуправильным, звездчатым многогранникам, многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т.п. Больше внимания в учебнике уделено изучению кривых и поверхностей, рассматриваются аналитические способы задания фигур. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются полярные и сферические координаты.

Гуманитарный профиль

В учебнике И.М.Смирновой и В.А.Смирнова [33] реализован курс несколько меньший по объему, чем в обычных классах, он рассчитан на 2 часа в неделю в течение полутора лет. В нем сохранены основные вопросы традиционной программы по стереометрии. При этом устранены излишняя детализация и теоремы, играющие вспомогательную роль.

Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения приложений геометрии. При этом курс логически связан, содержит необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую роль в учебнике играет наглядность.

Завершая обзор учебников, хочется подчеркнуть важность сохранения их многообразия. Необходимо предоставить авторам возможность общаться с учителями и совершенствовать свои учебники. Тогда, возможно через сотню лет, какие-то из перечисленных учебников будут вспоминать как легенду.

21.10.02

Примерные линии учебников по математике

¹ Окончание. Начало читайте, пожалуйста, в «БШ» № 3–2003